两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“□”表示，平行四边形ABCD记作“□ABCD”。
18.1.1平行四边形的性质
一、平行四边形的性质
（一）内容
1.平行四边形的对边相等。
2.平行四边形的对角相等。
3.平行四边形的对边平行。
（二）证明
已知：ABCD为平行四边形。
求证：AB=DC,AD=BC;∠A=∠C,∠B=∠D。
证明：如图，连接AC
根据ABCD为平行四边形可知，AB∥CD,AD∥BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4，又AC=CA
∴△ABC≌△DCA（ASA）,∠A=∠C
∴∠B=∠D,AB=DC,AD=BC
PS:不添加辅助线，运用平行四边形的定义，证明其对角相等。
证明：根据ABCD为平行四边形可知，AB∥CD,AD∥BC
∴∠B与∠A互补，∠B与∠C互补
∴∠A=∠C
同理，∠B=∠D
二、两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的任何两条平行线段都相等。（因为对边分别平行的四边形为平行四边形，平行四边形对边相等）
2.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。如下图，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离。
三、平行四边形对角线的性质
（一）平行四边形的对角线互相平分。
（二）证明
已知：ABCD为平行四边形
求证：OA=OC,OB=OD
证明：∵AD∥BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4，又AD=BC
∴△BOC≌△DOA（ASA）
∴OA=OC,OB=OD
18.1.2平行四边形的判定
一、判定定理
根据性质定理与判定定理的关系，通过证明性质定理的逆命题，得到判定定理。
（一）内容
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义其实也是判定方法的一种）
（二）证明
1.求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,CD=AB。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：根据题意可知，AD=BC,CD=AB，又AC=CA
所以△ACD≌△CAB(SSS)
∴∠ACD=∠CAB，∠CAD=∠ACB
∴AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形（定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
2.求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：根据题意可知，∠BAD+∠BCD+∠ADC+∠ABC=360°
又∵∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC
则∠BAD+∠ADC=180°
∴AB∥CD
同理，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
3.求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴∠BAC=∠DCA
∴AB∥CD
同理，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
4.求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：∵AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA
又∵AC=CA，AB=CD
∴△ABC≌△CDA（SAS）
∴AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（三）例题
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。
证明：∵□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE=CF
∴OE=OF，又OB=OD
∴四边形BFDE是平行四边形。
二、中位线（利用平行四边形研究三角形的有关问题）
（一）含义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（二）定理
1.内容：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
2.证明
已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点。求证：DE∥BC，且DE=
证明：延长DE到F，使DE=FE，连接AF，CF，CD
根据题意可知，AE=CE，又DE=FE
∴四边形ADCF为平行四边形
∴AD∥CF且AD=CF，又BD=AD
∴BD∥CF且BD=CF
∴四边形BCFD为平行四边形
∴BC∥DF且BC=DF
∴DE∥BC，且DE=
三、例题
如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB。图中哪些平行四边形面积相等？为什么？
解：□AEPH与□CFPG、□ABGH与□BCFE、□ADFE与□CDHG面积相等。
根据题意可知，AD∥BC，则∠CBD=∠ADB
AB∥DC，则∠BDC=∠DBA
又BD=DB
∴△BDC≌△DBA（ASA）
同理△PDF≌△DPH（ASA）
△BPE≌△PBG（ASA）
∴□AEPH与□CFPG面积相等。
∴□AEPH+□BEPG=□CFPG+□BEPG,即□ABGH与□BCFE面积相等。
同理，□ADFE与□CDHG面积相等。
